중·고등학교 시절 이차방정식의 판별식을 배우면서 우리는 허근의 존재에 대해 익히 듣게 되었다. 실근, 중근, 허근이라는 이름으로 처음 등장하게 되면서 판별식이 음수인 경우에 ‘허근을 가진다’라고 말한다. 그렇다면 근의 위치는 어떻게 시각화 할 수 있는 것인가? 그것은 함수를 2차원 평면에 그려보는 것으로 가능해진다. 너무 쉽고 당연한 얘기이지만 오늘은 이 얘기를 확장시켜 보려고 한다.
의 2차 함수를 생각해보자. 근은 이다. 함수를 2차원 평면 상에 그려보도록 하자.
근이라고 하는 것은 함수의 값을 0으로 만족시켜줄 수 있는 입력값 이어야 한다. 하지만 이 그림에서 함수의 값을 0으로 만들어주는 의 값은 축 어디에도 없다. 왜냐하면 우리가 그린 축과 축은 모두 실수(real number)축이기 때문이다.
2. 복소 평면의 등장
실수와 허수는 직교하는 수체계(직교수)
복소수는 크기와 방향을 가지는 수체계
<허수의 존재 의미> 편에서 허수에 대해 짧게 다루었는데, 간단하게만 정리하자면 허수는 실수를 벗어난 다른 차원의 수이다. 허수는 여러 가지 또 다른 여러 가지 이름이 붙지만 ‘직교 수’ 라는 것이 나는 가장 마음에 든다. 왜냐하면 실수와 허수는 직교하는 수체계이기 때문이다.
허수의 기본단위인 는 제곱해서 –1이 되는 복소수를 의미한다. 제곱이라는 것의 의미를 잘 생각해보면 같은 연산을 두 번 해주어서 그 결과를 낼 수 있어야 하는데, 같은 연산을 두 번 해주어서 –1이 되려면 실수 축에 직교하는 축으로 90도 회전하는 연산을 의 연산으로 보아야 한다.
복소수는 실수와 허수를 모두 합한 수체계를 의미하기 때문에, 따라서, 실수와 복소수를 동시에 한 평면에 나타내면 실수 축과 허수 축이 직교하는 형태의 ‘복소 평면’을 얻을 수 있게 된다.
그림 2 복소 평면. 실수 축과 허수 축은 서로 직교한다.
즉, 다시 말해 우리가 허근을 가지는 이차함수의 값이 0이 되는 부분을 찾기 위해서는 실수의 수준에서 그래프를 그리면 안되고 복소수 수준에서 그래프를 그려야 한다는 사실을 짐작할 수 있게 된다. 이 때, 우리는 복소수는 실수와 다르게 크기와 방향을 동시에 가지는 수라는 점을 꼭 인지하고 있어야 한다.
즉, 복소수는 수직선상에 나타나는 크기와 부호를 가지는 수가 아닌 수평면상에 나타나는 크기와 방향을 가지는 수체계이다. 이 중 복소수의 크기는 magnitude라고 부르고 방향은 phase라고 부른다.
이제 약간 어려운 부분이 생겼다. 그렇다면, 복소 함수를 제대로 그려주기 위해서는 입력인 두 개의 값( , 축의 값)에 대해 출력인 두 개의 값(magnitude와 phase)이 표현되어야 하므로 총 4개의 차원 정보가 시각화 되어야 한다.
3. 4차원 정보의 표현
인간이 시각적으로 이해할 수 있는 정보는 3차원까지 이기 때문에 일반적으로는 3차원을 넘는 정보는 시각화하는 것이 불가능한 것으로 알려져 있다.
하지만 phase는 독특한 성질을 가지고 있는데 그것은 phase는 그 크기가 얼마가 되었든 의 범위 안으로 바꿔 생각할 수 있다는 점이다.
따라서 우리가 취할 수 있는 전략 중 하나는 입력 , 와 출력 중 magnitude를 3차원의 그래프로 표현하고 phase는 색깔을 통해 표시하는 방법이다. 이것은 사람이 직접 하기에는 매우 힘든 작업이므로 MATLAB을 통해 구현해보았다.
아래는 의 그래프이다.
빨간 선을 따라간 것이 지금 까지 배운 내용을 바탕으로 실수 축에서만 생각할 수 있는 함수 이다. 또한 이렇게 plot을 해두면 에서 근을 가진다는 것을 시각적으로 확인할 수 있다.
요약
허근의 위치를 파악하려면 복소수의 좌표체계가 필요하다. (실수좌표체계에서 표현이 안된다.)
복소수의 좌표체계는 실수와 허수의 직교좌표이다.
복소수는 크기와 방향을 가진다.
실수는 x와 y값, 복소수는 크기와 방향값 이 4개의 차원을 표현하기 힘들다.(사람은 시각적으로 3차원까지 파악가능)
의 2차 함수를 생각해보자. 근은 
이다. 함수를 2차원 평면 상에 그려보도록 하자.
의 그래프이다.