[복소수와 오일러] 4. 자연상수 e의 존재의 의미

자연상수 e의 존재 의미에 대하여

(출처 : 공돌이의 수학노트)

 

자연상수 e가 필요한 이유는 무엇일까

 

1. 자연상수의 정의는 다음과 같다.

 

2. 자연상수의 의의는 무엇일까 : 바로 성장이다.

"100%의 성장률을 가지고 1회 연속 성장 할 때 가질 수 있는 최대 성장량이다."

처음 딱 보았을 때는 이해가 가지 않을 것이다. 나도 그랬다.

나누어서 생각해보자

[100%의 성장률]을 가지고 [1회 연속 성장] 할 때 가질 수 있는 [최대 성장량]이다.

최대 성장량은 수렴하는 숫자이다.

 

3. 연속 성장

성장률 100%로 가정해보자.

예를 들어 1년 뒤에 100%를 돌려주면 저금통이 있다고 생각해보자.

1원을 넣으면 1년 뒤에 1원 +1원이 된다. (12개월에 100%성장)

 

0개월(1원) -> 12개월(1원, 1원(100%)) = 2원

12개월 만에 주는 것이므로 100%성장하지만 불연속적인 성장이다.

 

그럼 조금더 연속적으로 성장시켜 보자(그래도 불연속 이긴 하지만)

이번에는 100% 성장을 2번에 나누어 성장할 경우이다.(한번에 50%씩)

0개월(1원) -> 6개월(1원, 0.5원(50%)) -> 12개월(1원, 0.5원(50%), 0.5원, 0.25원(50%)) = 2.25원

 

이번에는 100% 성장을 3번에 나누어 성장할 경우이다. (33%씩)

0개월(1원) -> 4개월(1원, 0.33원(33%)) -> 8개월(1원, 0.33원(33%), 0.33원, 0.11원(33%)

-> 12개월(1원, 0.33원(33%), 0.33원, 0.11원(33%), 0.33원, 0.11원(33%), 0.11원, 11/300원(33%)) = 2.37원

 

마지막으로 연속적으로 성장하다면 이 숫자는 2.71828... 에 수렴하게 된다.

수식으로 나타낸다면

12개월 1번에 성장했을 때 (1+1)

6개월에 한번씩 2번 성장했을 때 (2번이 연달아 성장했기 때문에 곱해줌)

4개월에 한번씩 3번 성장했을 때

n번 성장했을 때 = e

100% 성장률을 가지고 n번을 쪼개서 성장하면 언젠가 수가 수렴하게 된다.

어떤 것이든 연속 성장하게 되면 e의 모양을 따라 성장하게 된다.

 

4. 2회 성장 한다면?

1년동한 성장했던 방법을 한번더 한다면?

n회 성장한다면? 이 된다.

의미 : y = 의 함수는 몇회 성장을 시켜줬을 때 얼마만큼 연속 성장한 성장치가 나오는 것인가.

 

5. 성장률

얼마만큼 성장할것인가

성장률은 다음과 같다.

만약 50%의 성장률 이라면

자연상수 e의 지수는 성장횟수x성장률과 같다.

는 성장량이고

다시 첫 글을 보면

[100%의 성장률]을 가지고 [1회 연속 성장] 할 때 가질 수 있는 [최대 성장량]이다.

y = 에서 x는 성장횟수x성장률이다. 는 최대 성장량이다.

 

요약

성장률을 가지는 모든 것은 자연상수 e의 성장률 처럼 성장한다.

디지털화 되는 현실에서 0과 1로 존재하는 이산적인 신호들도 아주 세밀하고 0.000000000000000000001ns 단위로 쪼갠다면 자연상수의 모양대로 동작할 것이다. 현실은 아날로그니까(물론 사람의 눈에는 안보이겠지만)