[복소수와 오일러] 1. 호도법(radian)과 각도법(degree)

공돌이의 수학노트에서 호도법(radian)과 각도법(degree)에 대해 공부하였다.

 

출처 : 공돌이의 수학노트(호도법과 각도법) (<- 클릭시 자세한 설명이 있어요)

 

1. 각도법(60분법)에 대해

요약 : 각도법은 원주를 임의의 갯수로 나눈 방법이다.

(원주 : 원의 둘레, 원주율(3.14) : 원주/지름)

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각도법의 정의를 간단하게 알아보자. 각도법(60분법)이란 원주를 360등분한 것의 하나를 1도로 정한 것이라고 정의할 수 있겠다.

그러면, 각도법의 360은 어디에서 나왔을까? 여러가지 설이 있는데 가장 유력하게 보이는 것은 1년의 주기가 360일에 가깝기 때문이라는 것이다. 또 한가지 유력한 설은 바빌론의 수학은 60진법을 사용했는데 거기서 60분법이 출발했을 거라는 것이다. 60분법을 사용하게 되면 10진법에 비해서 장점이 있는 것이 2,3,4,5,6으로 나눌 때 나머지가 남지 않는다는 점이 있다. 어쨋든 그러한 전통적인 이유로 임의의 숫자 360으로 원주를 나눴다.

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2. 호도법

요약 : 호도법과 각도법은 각도를 이해하는 관찰 시점의 차이이며, 호도법은 원의 기하학적 특성을 잘 활용했다.

(기하학 : 도형 및 공간의 성질에 대하여 연구하는 학문)

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호도법은 영어로는 radian이라고 하는데, 이 의미는 원의 반지름을 의미하는 radius에서 온 것이라고 생각되고, 호도법이라는 한자용어는 호의 길이를 이용하여 각도(angle)를 재는 방법을 의미한다고 생각한다. 두 단어 모두 호도법의 특성을 잘 담은 단어라고 생각한다.

가끔 외국어 단어의 한자어 또는 한국어로 번역된 결과를 보게 되면, 답답하고 안타까운 경우도 종종 있지만, 어떤 경우는 번역된 단어가 원래 단어의 의미를 뛰어넘는 굉장한 번역들이 보여 감탄하게 된다. 나는 호도법(弧度法)이 그런 경우에 해당한다고 생각한다. 호도법의 진정한 의미를 알게 된다면 나의 의견에 동의하게 될 것이다.

 

각도법(degree)과 호도법(radian)의 차이는 원이 작도 될 때의 관찰 시점에 있다. 원이 작도되는 과정을 떠올려보자. 각도법은 원의 중심에서 원이 작도되는 과정을 보면서 ‘내 고개가 얼마나 올라갔나’를 수치화 시킨 것이고, 호도법은 원을 작도하는 연필의 입장에서 ‘(반지름 대비) 연필이 긁고간 길이가 얼마인가?’를 보는 것이다. 이 때 연필이 긁고 간 길이를 ‘호(弧)’라고 하는데 말 그대로 호도법은 호의 길이를 이용해 만든 각도(angle) 시스템인 것이다.

일반적으로 1 radian은 다음과 같이 정의하게 된다.

1 라디안(radian)은 원둘레 위에서 반지름의 길이와 같은 길이를 갖는 호에 대응하는 중심각의 크기로 무차원의 단위이다. 보다 일반적으로 라디안 값은 원에서의 호와 반지름의 길이의 비율과 같다. 즉, θ = s /r 이다, 여기서 θ 는 라디안으로 주어진 각도, s 는 호의 길이, r 은 반경이다. (출처 : Wikipedia)

 

호도법이 더 논리적이고 수학적인 이유는 원이 가지는 수학적인 특성을 잘 활용했기 때문이다. 원은 (반)지름과 둘레가 항상 일정한 비율을 가지고 있다. 즉, 어떤 원이더라도 반지름과 원의 둘레는 항상 $2\pi$ 만큼의 비율을 가지고 있게 되고, radian 각도(angle) 시스템은 원의 특성을 잘 반영한 시스템이라고 할 수 있다.

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요약!

각도법(degree)은 원주를 임의의 숫자인 360으로 나눈 것을 1도로 정한 것이다. (360이라는 숫자의 근원은 다양하다.)

호도법(radian)은 원을 조금더 기하학적인 의미로 다가간 것이다. 호의 길이로 각도를 재는 방법이다.

1 라디안(radian)은 원둘레 위에서 반지름의 길이와 같은 길이를 갖는 호에 대응하는 중심각의 크기로 무차원의 단위이다. 보다 일반적으로 라디안 값은 원에서의 호와 반지름의 길이의 비율과 같다. 즉, θ = s /r 이다

 

예)

1rad은 약 57.2958도의 각도 값을 가진다.

2rad면 약 114.6도이고 3rad면 약 171.9도이다. (반지름의 길이가 길든 짧든 비율에 대한 값이라 다 똑같다.)

그럼 3.14rad면 몇도 일까 180도에 가까운 179.9도이다. (3.14 = π)